Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．
（1）求证：EF⊥面PAB；
（2）若AB=BC，求AC与面AEF所成的角．

Answer

方法一：（1）取PA中点G，连接FG，DG，证明DG⊥平面PABDE，根据FE∥DG，得出EF⊥面PAB；
（2）由图形知线面角不易做出，但斜线AC的长度易求出，且可用等体积法算出C到而AEF的距离，如此则可以算出线面角的正弦值．此法省却了作图的麻烦．
方法二：由题设建立空间坐标系比较方便，故可用空间向量法解决，（1）求出直线的方向向量与面的法向量，证明其内积为0即可．（2）求出面的法向量与线的方向向量，按规则求出线面角即可．
【解析】
方法一：
（1）取PA中点G，连接FG，DG

⇒四边形DEFG为平行四边形⇒EFDG
⇒平面PAB⊥平面PAD
又PD=AD，PG=GA⇒DG⊥PA
⇒DG⊥平面PABDE，又FE∥DG
⇒EF⊥平面PAB．（6分）
（2）设AC，BD交于O，连接FO．
由PF=BF，BO=OD得FOPD，又PD⊥平面ABCD
∴FO⊥平面ABCD
设BC=a，则AB=a，∴PA=a，
DG=a=EF，∴PB=2a，AF=a．
设C到平面AEF的距离为h．
∵VC-AEF=VF-ACE，∴
即∴
∴AC与平面AEF所成角的正弦值为．
即AC与平面AEF所成角为（12分）
方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，
（1）证明：
设E（a，0，0），其中a＞0，则，，∴EF⊥PB，，∴AB⊥EF
又PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PB∩AB=B，∴EF⊥⊂平面PAB（6分）
（2）【解析】
由，得，
可得
，
则异面直线AC，PB所成的角为，
，∴，
又PB⊥EF，AF为平面AEF内两条相交直线，
∴PB⊥平面AEF，∴AC与平面AEF所成的角为，
即AC与平面AEF所成的角为．（12分）