由题设条件可知MN⊥PQ.设MN⊥y轴,则PQ⊥x轴,MN的方程为y=1,PQ的方程为x=0,由题设条件能够推出四边形PMQN的面积为,|MN|•|PQ|=××2=2.当MN,PQ都不与坐标轴垂直时,根据题设条件能够推导出,|PQ|=,所以S四边形PMQN=|MN|•|PQ|=,由此入手结合题设条件能够导出(S四边形PMQN)max=2,(S四边形PMQN)min=.
【解析】
∵.即MN⊥PQ.
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时,另一条直线必垂直于y轴.
不妨设MN⊥y轴,则PQ⊥x轴,
∵F(0,1)
∴MN的方程为:y=1,PQ的方程为:x=0
分别代入椭圆中得:|MN|=,|PQ|=2.
S四边形PMQN=|MN|•|PQ|=××2=2
当MN,PQ都不与坐标轴垂直时,
设MN的方程为y=kx+1(k≠0),
代入椭圆中得:(k2+2)x2+2kx-1=0,
∴x1+x2=,x1•x2=
∴
同理可得:|PQ|=,
S四边形PMQN=|MN|•|PQ|==
(当且仅当即k=±1时,取等号).
又S四边形PMQN=,∴此时S四边形PMQN<2.
综上可知:(S四边形PMQN)max=2,(S四边形PMQN)min=.