Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁．

（1）求证：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角（锐角）的度数．
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．

（1）证明：在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵______
∴EG⊥侧面AC₁；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵______
∴BF⊥侧面AC₁；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG．
③∵______
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④∵______
∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵______
∴，即．

Answer

本题考查的知识点是棱柱的结构特征及二面角及其度量，
（1）要证BE=EB1；即证E为BB1的中点；由截面A1EC⊥侧面AC1．我们可以在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，则易证FG=BE，我们可转化为FG=，由中位线性质，我们易得答案．
（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．我们易得∠CA1C1是平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的平面角，解三角形CA1C1即可得到答案．

【解析】
（Ⅰ）①面A1EC⊥侧面AC1
②面ABC⊥侧面AC1
③BE∥侧面AC1
④BE∥AA1
⑤AF=FC
（Ⅱ）【解析】
分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．
∵EB1∥，
∴，
∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，
∠DA1B1=∠A1DB1=（180°-∠DB1A1）=30°，
∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°，
∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°