Question

已知l₁、l₂是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线y²-x²=1各有两个交点，分别为A₁、B₁和A₂、B₂．
（1）求l₁的斜率k₁的取值范围；
（2）若|A₁B₁|=|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程．

Answer

（1）显然l1、l2斜率都存在，设l1的斜率为k1，得到l1、l2的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k1的取值范围；
（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程．
【解析】
（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．
联立得y=k1（x+），y2-x2=1，
消去y得
（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0．①
根据题意得k12-1≠0，②
△1＞0，即有12k12-4＞0．③
完全类似地有-1≠0，④
△2＞0，即有12•-4＞0，⑤
从而k1∈（-，-）∪（，）且k1≠±1．
（2）由弦长公式得
|A1B1|=．⑥
完全类似地有
|A2B2|=．⑦
∵|A1B1|=|A2B2|，
∴k1=±，k2=．从而
l1：y=（x+），l2：y=-（x+）或l1：y=-（x+），l2：y=（x+）．