Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

Answer

（1）先求函数h（x）的解析式，因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解，求出a的取值范围；
（2）先利用导数分别表示出函数在C1在点M处的切线与C2在点N处的切线，结合过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，建立关系式，通过反证法进行证明即可．
【解析】
（I）b=2时，h（x）=lnx-ax2-2x，
则h′（x）=-ax-2=-．
因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解．
又因为x＞0时，则ax2+2x-1＞0有x＞0的解．
①当a＞0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
②当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1＞0总有x＞0的解；
则△=4+4a＞0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根．此时，-1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．
（II）设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．
则点M、N的横坐标为x=，
C1在点M处的切线斜率为k1=，x=，k1=，
C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b，x=，k2=+b．
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．
即=+b，
则
=（x22-x12）+b（x2-x1）
=（x22+bx2）-（+bx1）
=y2-y1
=lnx2-lnx1．
所以=．设t=，则lnt=，t=1①
令r（t）=lnt-，t＞1．则r′t=-=．
因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．
则lnt＞．这与①矛盾，假设不成立．
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．