Question

设有一样本x₁，x₂，…，x_n，其标准差为s_x，另有一样本y₁，y₂，…，y_n，其中y_i=3x_i+2（i=1，2，…，n），其标准差为s_y，求证：s_y=3s_x．

Answer

先根据平均数的计算公式求出、的关系，再利用方差的计算公式结合已知推出公式sy2与sx2的关系，进而求出sy与sx的关系．
证明：∵=，
∴=
=

=3+2．
∴sy2=[（y12+y22+…+yn2）-n2]
=[（3x1+2）2+（3x2+2）2+…+（3xn+2）2-n（3+2）2]
=[9（x12+x22+…+xn2）+12（x1+x2+…+xn）+4n-n（92+12+4）]
=[（x12+x22+…+xn2）-n2]
=9sx2．
∵sx≥0，sy≥0，
∴sy=3sx．