Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l₁，l₂是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求l₁的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）求的取值范围．

Answer

（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a求得b，则椭圆的方程可得．
（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零设直线l1和l2的方程，分别于椭圆方程联立消去y，根据判别式求得k的范围，最后综合可得答案．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），根据韦达定理求得x和y的表达式，进而表示M和N的坐标，最后表示出根据k的范围确定答案．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为，
由
∴椭圆方程为；
（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零
∵，∴．
由消去y并化简整理，
得（3+4k2）x2+16kx+4=0
根据题意，△=（16k）2-16（3+4k2）＞0，解得．
同理得，
∴；
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）
那么，∴，∴
同理得，即
∴
∵，∴
∴
即的取值范围是．