Question

设函数f（x）=-x³+bx（b为常数），若函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，且方程f（x）=0的根都在区间[-2，2]内，则b的取值范围是     ．

Answer

先根据函数在区间（0，1）的单调递增转化成导函数在（0，1）恒大于0，以及求出方程f（x）=0的根，使根都在区间[-2，2]内即可．
【解析】
∵若函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，
∴f'（x）=-3x2+b＞0在（0，1）上恒成立
即b＞3x2在（0，1）上恒成立，解得b≥3
而f（x）=-x3+bx=-x（x2-b）=0的三个根为0，±
∵方程f（x）=0的根都在区间[-2，2]内
∴解得b≤4
综上所述3≤b≤4
故答案为[3，4]