Question

在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．
（I）若点E是棱CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；
（II）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）欲证EF∥平面A1BD，关键在平面A1BD内找一直线与EF平行，连接CD1，根据点E、F分别是棱CC1、C1D1的中点则EF∥D1C，从而EF∥A1B；
（Ⅱ）连接AC交BD于点G，连接A1G、EG，易证∠A1GE为直二面角A1-BD-E的平面角，再根据Rt△A1AG∽Rt△ECG，求出EC的长即可．
【解析】
（I）证明：（1）连接CD1∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形
∴A1D1∥AD，AD∥BC，A1D1=AD，AD=BC；
∴A1D1∥BC，A1D1=BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形；
∴A1B∥D1C（3分）
∵点E、F分别是棱CC1、C1D1的中点；
∴EF∥D1C
又∴EF∥A1B又∵A1B⊂平面A1DB，EF⊂面A1DB；∴EF∥平面A1BD（6分）
（II）连接AC交BD于点G，连接A1G，EG
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形
∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，AD=AB，BC=CD
∵底面ABCD是菱形，∴点G为BD中点，∴A1G⊥BD，EG⊥BD
∴∠A1GE为直二面角A1-BD-E的平面角，∴∠A1GE=90°（3分）
在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，∴∠ABC=120°，
∴AC=
∴AG=GC=（10分）
在面ACC1A1中，△AGA1，△GCE为直角三角形
∵∠A1GE=90°∴∠EGC+∠A1GA=90°，
∴∠EGC=∠AA1G，
∴Rt△A1AG∽Rt△ECG（12分）
∴
所以当EC=时，A1-BD-E为直二面角．（15分）