Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；
（2）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）求证对任意的n∈N^*，不等式恒成立

Answer

（1）首先考虑函数的定义域，然后求出导函数=0时的值，讨论导数大于小于0时函数的递增递减区间即可；
（2）由题意可知导函数等于0时在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b=0，然后讨论根的判别式大于0即g（-1）大于0得到b的范围即可；
（3）设h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）求出导函数推出导函数大于0函数为递增函数，令h（0）=0则恒有h（x）＞h（0）即x2＜x3+ln（x+1）恒成立，然后令x=得证．
【解析】
（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），b=-12时，
由，得x=2（x=-3舍去），
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
所以当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．
（2）由题意在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x2+2x+b，则，
解之得
（3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）
则，当x∈[0，+∞）时，h'（x）＞0，
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取，
则有恒成立．