Question

若函数f（x）=x+asinx在R上递增，则实数a的取值范围为    ．

Answer

先对函数f（x）=x+asin x进行求导，根据原函数是R上的增函数一定有其导函数在R上大于等于0恒成立得到1+acosx≥0，再结合cosx的范围可求出a的范围．
【解析】
∵f′（x）=1+acosx，
∴要使函数f（x）=x+asinx在R上递增，则1+acosx≥0对任意实数x都成立．
∵-1≤cosx≤1，
①当a＞0时-a≤acosx≤a，
∴-a≥-1，∴0＜a≤1；
②当a=0时适合；
③当a＜0时，a≤acosx≤-a，
∴a≥-1，
∴-1≤a＜0．
综上，-1≤a≤1．
故答案为：[-1，1]