Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[1，a]上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer

（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行计算，
（Ⅱ）首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，然后求出函数极值的大小并与端点函数值进行比较，进而求出函数的最大值，
（Ⅲ）可以先假设存在，然后再依据根的存在性定理进行判断．
【解析】
（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x2-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
由且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0，
（Ⅱ）依题意得，
∴f（x）=x3-4x2-3x，
令f′（x）=3x2-8x-3=0，
解得，
而，
故f（x）在区间[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅲ）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个不同的交点，
即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等的实数根，
而x=0是方程x3-4x2-3x=bx的一个实数根，则
方程x2-4x-3-b=0有两个非零实数根，
则，
即b＞-7且b≠-3，
故满足条件的b存在，其取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）．