Question

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁，已知．
（1）求证：B₁C₁⊥平面OAH；
（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大小．

Answer

（1）要证B1C1⊥平面OAH，直线证明直线垂直平面OAH内的两条相交直线：AH、OA即可；
（2）作出二面角O-A1B1-C1的平面角，然后求解即可；或者建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积求解．
【解析】
（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，
则EF∥平面OBC，所以EF∥B1C1．
又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B1C1．
因为OA⊥OB，OA⊥OC，
所以OA⊥面OBC，则OA⊥B1C1，
因此B1C1⊥面OAH．

（2）作ON⊥A1B1于N，连C1N．因为OC1⊥平面OA1B1，
根据三垂线定理知，C1N⊥A1B1，∠ONC1就是二面角O-A1B1-C1的平面角．
作EM⊥OB1于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则EM=OM=1．
设OB1=x，由得，，解得x=3，
在Rt△OA1B1中，，则，．
所以，故二面角O-A1B1-C1为．

解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
O-xyz则
所以
所以
所以BC⊥平面OAH，
由EF∥BC得B1C1∥BC，故：B1C1⊥平面OAH

（2）由已知，设B1（0，0，z）
则
由与共线得：存在λ∈R有得
同理：C1（0，3，0），∴
设是平面A1B1C1的一个法向量，
则令x=2，得y=z=1，∴．
又是平面OA1B1的一个法量∴
所以二面角的大小为
（3）由（2）知，，B（0，0，2），平面A1B1C1的一个法向量为．
则．
则点B到平面A1B1C1的距离为．