Question

在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ）的最小值．

Answer

（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x，y），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x，y满足C的方程即可求得；
（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．
【解析】
（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，
所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=-
设P（x，y），因P在C上，有0＜x＜1，y=2，y'|x=x0=-，得切线AB的方程为：
y=-（x-x）+y．
设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．
由=+得M的坐标为（x，y），由x，y满足C的方程，得点M的轨迹方程为：
+=1（x＞1，y＞2）
（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，
∴||2=x2-1++5≥4+5=9．
且当x2-1=，即x=＞1时，上式取等号．
故||的最小值为3．