Question

设数列{a_n}的前n项的和，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求首项a₁与通项a_n；
（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．

Answer

对于（Ⅰ）首先由数列{an}的前n项的和求首项a1与通项an，可先求出Sn-1，然后有an=Sn-Sn-1，公比为4的等比数列，从而求解；
对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将an=4n-2n代入Sn=an-×2n+1+，n=1，2，3，得Sn=×（4n-2n）-×2n+1+=×（2n+1-1）（2n+1-2）
然后再利用求和公式进行求解．
【解析】
（Ⅰ）由Sn=an-×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1-×4+
所以a1=2．
再由①有Sn-1=an-1-×2n+，n=2，3，4，
将①和②相减得：an=Sn-Sn-1=（an-an-1）-×（2n+1-2n），n=2，3，
整理得：an+2n=4（an-1+2n-1），n=2，3，
因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：an+2n=4×4n-1=4n，n=1，2，3，
因而an=4n-2n，n=1，2，3，
（Ⅱ）将an=4n-2n代入①得Sn=×（4n-2n）-×2n+1+=×（2n+1-1）（2n+1-2）
=×（2n+1-1）（2n-1）
Tn==×=×（-）
所以，=-）=×（-）＜