Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB平行于CD，，AD₁⊥A₁C，E是A₁B₁中点．
（1）求证：CD⊥A₁D₁．
（2）求二面角C-D₁E-B₁的大小．

Answer

（1）由题意知四边形AA1D1D是正方形，得AD1⊥平面DA1C，即AD1⊥DC，可证DC⊥平面AA1D1D得 DC⊥A1D1．
（2）根据（1）的结论，利用垂直关系建立坐标系，求平面CD1E的法向量，用向量的数量积求二面角的余弦值．
【解析】
（1）∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱且AD=DD1；
∴四边形AA1D1D是正方形，∴AD1⊥A1D，
∵AD1⊥A1C，A1D∩A1C=A1；
∴AD1⊥平面DA1C；∴AD1⊥DC（4分）
∵DD1⊥DC，DD1∩AD1=D1；
∴DC⊥平面AA1D1D；∴DC⊥A1D1（6分）
（2）由（1）知以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系；C（0，1，1）；E（1，1，0）；
；（8分）
由题意，平面D1EB1的法向量为=（0，0，1）
设平面CD1E的法向量=（x，y，z），则，
令y=-1，则=（1，-1，1）（10分）
∴；
由图形知，二面角C-D1E-B1为锐角，
∴二面角C-D1E-B1的大小为．