Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为10，公差为-2的等差数列；a_m+1，a_m+2，…a_2m是首项为，公比为的等比数列（m≥3，m∈N^*），并对任意n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）当m=12时，求a₂₀₁₀；
（2）若，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S_128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由an+24=an，知a2010=a18，a18是以为首项，以为公比的等比数列的第6项，所以．
（2）由，知m≥7，由，知2km+m+7=（2k+1）m+7=52，由此入手可求出m可取9、15、45．
（3）由，知，．设f（m）=704m-64m2，＞1922；f（m）=-64（m2-11m），f（x）max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在这样的m．
（1）an+24=an；所以a2010=a18（2分）
a18是以为首项，以为公比的等比数列的第6项，
所以（4分）

（2），所以m≥7（5分）
因为，所以2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N（6分）
（2k+1）m=45，
当k=0时，m=45，成立．
当k=1时，m=15，成立；
当k=2时，m=9成立（9分）
当k≥3时，；
所以m可取9、15、45（10分）

（3）（12分）

设f（m）=704m-64m2，（14分）
g（m）＞1922；
f（m）=-64（m2-11m），对称轴，
所以f（m）在m=5或6时取最大f（x）max=f（5）=f（6）=1920，
因为1922＞1920，所以不存在这样的m（16分）