Question

符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：
①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；
②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；
③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．
某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．
已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．
（I）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望；
（II）求这名同学被该大学录取的概率．

Answer

（1）本题解题的关键是读懂题意，由题意知这名同学参加考试次数ξ为2、4，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率得到概率，写出分布列，算出期望．
（2）根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，做出该生第二次考试被录取的概率和第四次考试被录取的概率，得到结果．
【解析】
（I）由题意知这名同学参加考试次数ξ为2、4，
根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率得到
P（ξ=2）=（1-0.9）+0.9×0.5=0.55
P（ξ=4）=0.9×（1-0.5）=0.45
∴变量的分布列是

∴Eξ=2×0.55+4×0.45=2.9
（II）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是P1、P2，
则P1=0.1×0.3+0.9×0.5=0.48
P2=0.9×（1-0.5）×0.8×0.6+0.9×（1-0.5）×（1-0.8）×0.3=0.243
∴该同学被该校录取的概率P1+P2=0.723．