Question

某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动．凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推．摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落、小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金为2元，落入B袋为二等奖，奖金为1元、已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；
（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；
（Ⅲ）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算．

Answer

本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列与数学期望，
（1）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则易得P（A）=，P（B）=，则获得两次一等奖的概率P=P（A）•P（A），代入即可得到答案．
（2）消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，X可以取2，3，4，分类讨论并计算出P（X=2），P（X=3），P（X=4）的值后，即可得到随机变量X的分布列，进而求出数学期望．
（3）我们可以分别计算，刚好消费20元时，八八折能节省的钱数，及抽奖能节省的钱数，比较后即可得到答案．
【解析】
记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，（2分）
（I）获得两次一等奖的概率为．（4分）
（II）X可以取2，3，4
P（X=2）=，
P（X=3）=，
P（X=4）=（8分）
分布列为：

所以E（X）=2×+3×+4×=2.5．（10分）
（Ⅲ）参加摇奖，可节省2.5元，打折优惠，可节省2.4元，当然参加摇奖．（12分）