Question

如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点P恰好返回到A点的概率；
（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量S表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求S的数学期望．

Answer

（1）求点P恰好返回到A点的概率，首先我们要对回到A点的情况分类讨论，由于回到原点最少需要两次投掷，最多需要四次投掷，故我们可以分两次、三次、四次，四种情况进行讨论，计算出每种情况性质的概率，相加即得结果．
（2）由（1）的结论我们不难得到ξ的值分别等2，3，4时的概率，然后我们代入数学期望公式即可求解．
【解析】
（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为
因为只投掷一次不可能返回到A点；
若投掷两次点P就恰能返回到A点，
则上底面出现的两个数字应依次为：
（1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，
其概率为=
若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：
（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为=
若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）
其概率为=
所以，点P恰好返回到A点的概率为P=P2+P3+P4==
（Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种，
因为，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=
所以，Eξ==