Question

如图1所示，在边长为12的正方形AA′A₁′A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．

Answer

（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，要证：AB⊥平面BCC1B1；只需证明AB垂直平面内的两条相交直线，BC和BB1即可．
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比，先求下部四棱锥的体积，再求棱柱的体积，然后求出两部分体积比．
（1）证明：在正方形AA′A1′A1中，
因为A′C=AA′-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2．所以AB⊥BC．
因为四边形AA′A1′A1为正方形，BB1∥AA1，所以AB⊥BB1．
而BC∩BB1=B，BCÌ平面BCC1B1，BB1Ì平面BCC1B1，
所以AB⊥平面BCC1B1．（7分）
（2）【解析】
因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为SBCQP=（BP+CQ）×BC=20．
所以四棱锥A-BCQP的体积VA-BCQP=SBCQP×AB=20．
由（1），知BB1⊥AB，BB1⊥BC，且AB∩BC=B，ABÌ平面ABC，BCÌ平面ABC．
所以BB1⊥平面ABC．所以三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱．
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为VABC-A1B1C1=S△ABC×BB1=72．
故平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下两部分的体积之比为=（14分）