Question

如图，在三棱锥P-ABC中，D、E分别是BC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB≠AC，AC＞AD，PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-BC-A的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系是（ ）

A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．β＜α＜γ
D．γ＜β＜α

Answer

PC与DE所成的角为α，这是异面直线所成的角，需把这两条直线平移到一起去；PD与平面ABC所成的角为β，这是直线与平面所成的角，需找到平面的垂线，如：PA⊥平面ABC；二面角P-BC-A的平面角为γ，关键是找到此二面角的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线定理．
【解析】
如图所示：
∵D、E分别是BC、AB的中点，
∴DE∥AC
∴PC与DE所成的角为α，即∠PCA
∵PA⊥平面ABC，
∴PD与平面ABC所成的角为β，即∠PDA
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，连接PQ，
∵PA⊥平面ABC，
∴根据三垂线定理可得：二面角P-BC-A的平面角为γ，即∠PQA，
则AC＞AD＞AQ
∴在Rt△PAC，Rt△PAD，Rt△PAQ中：tan∠PCA＜tan∠PDA＜tan∠PQA，
即tanα＜tanβ＜tanγ
又∵α，β，γ∈（0，）
∴α＜β＜γ