Question

已知定义在正实数集上的函数，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．

Answer

（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后用a表示b，利用导数的工具求b的最大值，从而问题解决．
（II）先设F（x）=f（x）-g（x），利用导数研究此函数的单调性，欲证f（x）≥g（x）（x＞0），只须证明F（x）在（0，+∞）上的最小值是0即可．
【解析】
（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x，y）处的切线相同，
∵f′（x）=x+2a，，
由题意f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），
由得x=a，x=-3a（舍去）即有=（3分）
令，则h′（t）=2t（1-3lnt）
当t（1-3lnt）＞0，即时，h'（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即时，h'（t）＜0．
故h（t）在为增函数，在为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为（6分）

（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=，
则F'（x）=（10分）
故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，
于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x）=f（x）-g（x）=0．
故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）（12分）