Question

如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大小．
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（1）方法一：根据三垂线定理可得：作AH⊥面BCD于H，连DH．由长度计算可得：BHCD是正方形，所以DH⊥BC，则AD⊥BC．
方法二：证明异面直线垂直，也可以先证明直线与平面垂直：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，所以BC⊥面AOD
（2）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，再根据余弦定理即可求得cos∠BMN的大小．
（3）直线与平面所成的角，需先作出平面的垂线：设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH，所以EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则∠EDF=30°．
【解析】
（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．
AB⊥BD⇒HB⊥BD，又AD=，BD=1
∴AB==BC=AC
∴BD⊥DC
又BD=CD，则BHCD是正方形，
则DH⊥BC∴AD⊥BC
方法二：取BC的中点O，连AO、DO
则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD
∴BC⊥AD
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，因为AB=AC=BC=
∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=
∴∠BMN=arccos
（3）设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH，
∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，
则∠EDF=30°．
设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=，
∴tan∠EDF===
解得x=，
则CE=，x=1
故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角．