Question

已知数列{a_n}满足S_n=，S_n是{a_n}的前n项的和，a₂=1．
（1）求S_n；（2）证明：

Answer

（1）易得递推关系，从而求通项与和
（2）通常与二项式定理有关，需用放缩法求和，而放缩法主要是放缩成特殊的等比类型．
【解析】
（1）由题意Sn=，
两式相减得2an+1=（n+1）an+1-nan即（n-1）an+1=nan，
所以（n+1）an+1=nan+2再相加得2nan+1=nan+nan+2即2an+1=an+an+2
所以数列{an}是等差数列（4分）
∵a1=∴a1=0，
又a2=1，则公差为1，∴an=n-1，
所以数列{an}的前n项的和为Sn=，（6分）
（2）（1+（8分）
①当n=1时：（1+=，，不等式成立．（7分）
②当n≥2时：一方面
∵（9分）
另一方面：
∴（1+，
综合两方面∴
于是对于正整数n，都有（12分）