Question

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；
（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x-1）[x-（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t-，求出g（t）的最小值．要使＜（x-1）-恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+）]
当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x-1）[x-（1+）]＞3m，
∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+）]＜1．（*）
1x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．
∴m＜0．
2x≠1时∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．
（*）式化为＜（x-1）-．
令t=x-1，则t∈[-2，0），记g（t）=t-，
则g（t）在区间[-2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（-2）=-2-=-．
由（*）式恒成立，必有＜-⇒-＜m，又m＜0．∴-＜m＜0．
综上1、2知-＜m＜0．