Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，a_n+S_n=4096．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，对数列{T_n}，从第几项起T_n＜-509？

Answer

（1）由题设知a1+S1=4096，a1=2048．an=Sn-Sn-1=（4096-an）-（4096-an-1）=an-1-an，由此可知=an=2048（）n-1．
（2）由题设条件可知Tn=（-n2+23n）．再由Tn＜-509，知n＞，由此可知从第46项起Tn＜-509．
【解析】
（1）∵an+Sn=4096，
∴a1+S1=4096，a1=2048．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（4096-an）-（4096-an-1）=an-1-an
∴=an=2048（）n-1．
（2）∵log2an=log2[2048（）n-1]=12-n，
∴Tn=（-n2+23n）．
由Tn＜-509，解得n＞，而n是正整数，
于是，n≥46．
∴从第46项起Tn＜-509．