Question

设A、B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由．

Answer

（Ⅰ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，代入3x2+y2=λ，整理得：（k2+3）x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0，然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够求出直线AB的方程．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有⇒3 （x1-x2） （x1+x2）+（y1-y2）=0．∴kAB=-．∵N（1，3）是AB的中点∴kAB=-1．由此能够求出直线AB的方程．
（Ⅱ）解法一：由题意知直线CD的方程为x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．由弦长公式可得|CD|=•|x3-x4|=．将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ=0．同理可得|AB|=•|x1-x2|=．由此可以推出存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上．
解法二：由题高设条件可知λ＞12，直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x2-8x+16-λ=0，由此通过计算知•=0，∴A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆．
【解析】
（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，
代入3x2+y2=λ，整理得：（k2+3）x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个不同的根，
∴△=4[λ（k2+3）-3（k-3）2]＞0，②
且x1+x2=．由N（1，3）是线段AB的中点，得x1+x2=2，
∴k（k-3）=k2+3解得k=-1，代入②得λ＞12，
即λ的取值范围是（12，+∞）．
于是直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则有⇒3 （x1-x2） （x1+x2）+（y1-y2）=0．
依题意，x1≠x2，∴kAB=-．
∵N（1，3）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6，从而kAB=-1．
又由N（1，3）在椭圆内，∴λ＞3×12+32=12，
∴λ的取值范围是（12，+∞）．
直线AB的方程为y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③
又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x，y），
则x3，x4是方程③的两根，
∴x3+x4=-1，且x==-，y=x+2=，即M（，）
于是由弦长公式可得|CD|=•|x3-x4|=．④
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ=0．⑤
同理可得|AB|=•|x1-x2|=．⑥
∵当λ＞12时，＞，
∴|AB|＜|CD|．
假设存在λ＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心．
点M到直线AB的距离为d===．⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+=+==．
故当λ＞12时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上．
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆⇔ACD为直角三角形，A为直角⇔|AN|2=|CN|•|DN|，
即=（||+d）（||-d）．⑧
由⑥式知，⑧式左边=，
由④⑦知，⑧式右边=（+）（-）=-=．
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆．）
解法二：由（Ⅱ）解法一知λ＞12，
∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③
将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x2-8x+16-λ=0．⑤
解③和⑤式可得x1，2=，x3，4=，
不妨设A（1+，3-），
C（，），D（，）．
∴=（，），
=（，），
计算可得•=0，
∴A在以CD为直径的圆上．
又B为A关于CD的对称点，
∴A、B、C、D四点共圆．