Question

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115-|t-15|．
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．

Answer

（Ⅰ）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；
（Ⅱ）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，1≤t＜15和15≤t≤30两种情况化简得w（t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，；
（Ⅱ）因为；
①当1≤t＜15时，
当且仅当，即t=5时取等号
②当15≤t≤30时，，
可证w（t）在t∈[15，30]上单调递减，
所以当t=30时，w（t）取最小值为
由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元．