Question

已知⊙O：x²+y²=1和点M（4，2）．
（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；
（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）找出圆的圆心坐标和半径，设切线方程的斜率为k，由M的坐标和k写出切线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d让d等于半径r得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；
（Ⅱ）根据点到直线的距离公式求出M到已知直线的距离d，然后利用勾股定理即可求出圆M的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（Ⅲ）假设存在这样的R点，设出R的坐标，并设出P的坐标，根据圆的切线垂直于过切点的半径得到三角形OPQ为直角三角形，根据勾股定理表示出PQ的长，然后利用两点间的距离公式表示出PR的长，设PQ与PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作（*），又因为P在⊙M上，所以把P的坐标当然到⊙M的方程中，化简后代入到（*）中，根据多项式对应项的系数相等即可求出R的坐标和λ的值．
【解析】
（Ⅰ）由⊙O：x2+y2=1得到圆心O（0，0）半径r=1，
设切线l方程为y-2=k（x-4），
易得，解得，
∴切线l方程为；
（Ⅱ）圆心M到直线y=2x-1的距离d==，
设圆的半径为r，则，
∴⊙M的方程为（x-4）2+（y-2）2=9；

（Ⅲ）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，
根据题意可得，
∴，
即x2+y2-1=λ2（x2+y2-2ax-2by+a2+b2）（*），
又点P在圆上∴（x-4）2+（y-2）2=9，
即x2+y2=8x+4y-11，代入（*）式得：
8x+4y-12=λ2[（8-2a）x+（4-2b）y+（a2+b2-11）]，
若系数对应相等，则等式恒成立，∴，
解得，
∴可以找到这样的定点R，使得为定值．
如点R的坐标为（2，1）时，比值为；点R的坐标为时，比值为．