Question

已知数列{a_n}是以d为公差的等差数列，{b_n}数列是以q为公比的等比数列．
（Ⅰ）若数列的前n项和为S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，求整数q的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（Ⅲ）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

Answer

（Ⅰ）由等差等比数列的表达式an=2n，bn=2•qn-1，代入S3＜a1003+5b2-2010直接求解即得到答案．
（Ⅱ）可以先假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1，再根据已知的条件去验证，看是否能找出矛盾．如果没有矛盾即存在，否则这样的项bk不存在；
（Ⅲ）由已知条件b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+（s-r）d，和等差等比数列的性质，由数学归纳法求证数列中每一项是否都是数列中的项．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，an=2n，bn=2•qn-1，所以由S3＜a1003+5b2-2010，
可得到b1+b2+b3＜a1003+5b2-2010⇒b1-4b2+b3＜2006-2010⇒q2-4q+3＜0．
解得1＜q＜3，又q为整数，所以q=2；
故答案为2．
（Ⅱ）假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1，
因为bn=2n，∴bk＞bm+p-1⇒2k＞2m+p-1⇒k＞m+p-1⇒k≥m+p（*）
又
=2m+p-2m＜2m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．
所以，这样的项bk不存在；
故答案为不存在．
（Ⅲ）由b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+（s-r）d，
则
又，
从而，
因为as≠ar⇒b1≠b2，所以q≠1，又ar≠0，
故．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数，
所以q是整数，且q≥2，
对于数列中任一项bi（这里只要讨论i＞3的情形），
有bi=arqi-1=ar+ar（qi-1-1）
=ar+ar（q-1）（1+q+q2++qi-2）
=ar+d（s-r）（1+q+q2++qi-2）
=ar+[（（s-r）（1+q+q2++qi-2）+1）-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q2++qi-2）+1是正整数，所以bi一定是数列{an}的项．
故得证．