Question

已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．．
求证：当n∈N^•时，
（Ⅰ）a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）S_n＞n-2．

Answer

（1）对于n∈N•时的命题，考虑利用数学归纳法证明；
（2）由ak+12+ak+1-1=ak2，对k取1，2，…，n-1时的式子相加得Sn，最后对Sn进行放缩即可证得．
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．
②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，
因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），
所以ak+1＜ak+2．
即当n=k+1时，an＜an+1也成立．
根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．

（Ⅱ）证明：由ak+12+ak+1-1=ak2，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得an2+（a2+a3+…+an）-（n-1）=a12．
因为a1=0，所以Sn=n-1-an2．
由an＜an+1及an+1=1+an2-2an+12＜1得an＜1，
所以Sn＞n-2．