Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一项都不为0．证明：{a_n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有++…+=．

Answer

先证必要性；设数列an的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则==．再用数学归纲法证明充分性：对任何n∈N，都有++…+=，{an}是公差为d的等差数列．
证明：先证必要性
设数列an的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则

=
==．
再证充分性：
用数学归纳法证明：
①设所述的等式对一切n∈N都成立，首先在等式①
两端同时乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，
所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2=a1+d．
②假设ak=a1+（k-1）d，当n=k+1时，观察如下二等式：②，
=将②代入③得，
在该式两端同时乘a1akak+1，得（k-1）ak+1+a1=kak，
把ak=a1+（k-1）d代入后，整理得ak+1=a1+kd．
由数学归纳法原理知对任何n∈N，都有++…+=．
所以，{an}是公差为d的等差数列．