Question

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为．
现设n=4，分别以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，
则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（Ⅰ）写出X的可能值集合；
（Ⅱ）假设a₁，a₂，a₃，a₄等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，
①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．

Answer

（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，得到|1-a1|+|3-a3|与|2-a2|+|4-a4|的奇偶性相同，得到结论．
（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，算出概率，写出分布列．
（3）做出三轮测试都有X≤2的概率，记做P，做出概率的值和已知量进行比较，得到结论，
【解析】
（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}
∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，
∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，
∴|1-a1|+|3-a3|与|2-a2|+|4-a4|的奇偶性相同，
∴X=（|1-a1|+|3-a3|）+（|2-a2|+|4-a4|）必为偶数，
X的值非负，且易知其值不大于8，
∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}
（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，
计算每种排列下的X的值，
在等可能的假定下，
得到P（X=0）=
P（X=2）=
P（X=4）=
P（X=6）=
P（X=8）=
（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）==
将三轮测试都有X≤2的概率记做P，有上述结果和独立性假设得
P==，
②由于P=＜是一个很小的概率，
这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，
∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测．