Question

设a∈R且a≠2，函数f（x）=e^x（x²-ax+a）．
（1）求f'（0）的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）首先求出f′（x），然后令x=0求出f′（0）的值，
（2）首先求出函数的导数，令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=（ex）′（x2-ax+a）+ex（x2-ax+a）′
=ex（x2-ax+a）+ex（2x-a）
=ex[x2-（a-2）x]
=exx[x-（a-2）]
∴f′（0）=0，
（Ⅱ）令f′（x）=0，
解得x1=0，x2=a-2，
∵函数f（x）定义域为R，且对任意x∈R，ex＞0，
∴当a-2＞0，即a＞2时，

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（a-2，+∞），单调递减区间是（0，a-2）．
当a-2＜0，即a＜2时，

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（0，+∞），单调递减区间是（a-2，0）．
综上，当a＞2时，f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（a-2，+∞），单调递减区间是（0，a-2），
当a＜2时，f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（0，+∞），单调递减区间是（a-2，0）．