设F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点到F1，F...

设F₁，F₂分别是椭圆C： manfen5.com 满分网

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点 manfen5.com 满分网

到F₁，F₂两点距离之和等于4．
（Ⅰ）求此椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点 manfen5.com 满分网

，求k的取值范围．

（Ⅰ）由已知得到关于a，b的两个方程，解出对应a，b的值即可．（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，找到关于点M、N的中点坐标，把其代入线段MN的垂直平分线方程，可以得到k和m之间的一个等量关系，再利用直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，对应判别式大于0，就可求出k的取值范围．【解析】（Ⅰ）由题意有，解得 ∴椭圆的方程为=1 （Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由⇒（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0 ∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点 ∴△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3 又x1+x2=-∴MN中点P的坐标为设MN的垂直平分线l'方程：y=- ∵p在l'上∴ 即4k2+8km+3=0∴m=- 将上式代入得+3∴k2＞即k＞或k＜-∴k的取值范围为．

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考点分析：

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