Question

已知数列{a_n}为等差数列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有．

Answer

（Ⅰ）因为3+15=6+12，根据等差数列的性质可知a3+a15=a6+a12，即可求出a10的值，再根据a7=14，利用待定系数法求出数列的首项与公差，根据首项与公差写出通项公式及前n项和的公式即可；
（Ⅱ）先根据Sn的通项公式表示出，（1）当n=1时，把n=1代入求值不等式成立；（2）再假设n=k时关系成立，利用通分和约分变形可得n=k+1时关系也成立，综合（1）和（2），得到对于任意n∈N*时都成立．
【解析】
（Ⅰ）因为{an}为等差数列，且3+15=6+12，所以a3+a15=a6+a12，得a10=20，
由a10=a1+9d及a7=a1+6d联立解得a1=2，d=2，
因此得an=2n，Sn=n2+n；
（Ⅱ）证明：，
（1）当n=1时，，关系成立；
（2）假设当n=k时，关系成立，即，
则
=
=，即当n=k+1时关系也成立．
根据（1）和（2）知，关系式对任意n∈N*都成立．