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如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,,点E在棱CC1上. (1)若B1...

如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,manfen5.com 满分网,点E在棱CC1上.
(1)若B1E⊥BC1,求证:AC1⊥平面B1D1E.
(2)设manfen5.com 满分网,问是否存在实数λ,使得平面AD1E⊥平面B1D1E,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

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(1)由图形及题设条件知可证A1C1⊥B1D1,B1E⊥AC1,从而得出AC1⊥平面B1D1E. (2)建立空间坐标系,求出两个平面的法向量,若两平面垂直则法向量内积为0,利用此方程求参数,若能求出则存在,否则不存在,解答本题时注意答题格式. (1)证明:连接A1C1,因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以A1C1⊥B1D1, 又A1C1是AC1在底面A1B1C1D1内的射影,因此B1D1⊥AC1,(2分) 同理,BC1是AC1在平面BCC1B1内的射影, 因为B1E⊥BC1,所以B1E⊥AC1, 又B1D1∩B1E=B1,所以AC1⊥平面B1D1E(3分) (2)【解析】 存在实数λ,使得平面AD1E⊥平面B1D1E,证明如下: 因为,所以,因为, 不妨设AB=1,则AA1=2,以D1为坐标原点,分别以D1A1,D1C1,D1D为x,y,z轴建立坐标系, 则,(2分) 设平面AD1E的一个法向量为n1,由得一个, 同理得平面D1B1E的一个法向量,(3分) 令n1•n2=0,即, 解得λ=1, 所以存在实数λ=1,使得平面AD1E⊥平面B1D1E(2分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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