Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率等于，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，试求λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题意知b2=2，a2=8，所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x，y），若直线l与y轴重合，则，得y=1，得．若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，得①，．由此可知λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（1分）
因为它的一个顶点为A（0，），所以b2=2，
由离心率等于，得=，
解得a2=8，所以椭圆的标准方程为（4分）
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x，y），若直线l与y轴重合，
则，得y=1，得（1分）
若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，得①，②，（2分）
由得，整理得2x1x2=x（x1+x2），
将①②代入得，又点N（x，y）在直线l上，
所以，（2分）
于是有，因此，
由得，
所以，综上所述，有（2分）