Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b≥0，c∈R）．若f（x）的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出若不存在，请说明理由．

Answer

二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）的对称轴是x=-，定义域为[-1，0]，按照对称轴在定义域[-1，0]内、在[-1，0]的左边和在[-1，0]的右边三种情况分别求函数的值域，令其和题目条件中给出的值域相等，求b和c．
【解析】
设符合条件的f（x）存在，
∵函数图象的对称轴是x=-，
又b≥0，∴-≤0．
①当-＜-≤0，即0≤b＜1时，
函数x=-有最小值-1，则或（舍去）．
②当-1＜-≤-，即1≤b＜2时，则（舍去）或（舍去）．
③当-≤-1，即b≥2时，函数在[-1，0]上单调递增，则解得
综上所述，符合条件的函数有两个，
f（x）=x2-1或f（x）=x2+2x．