Question

某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f （n）与时间n（1≤n≤30、n∈N^*）的函数关系如下图所示，其中函数f （n）图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．
（Ⅰ）求f （n）的表达式，及前m天的销售总数；
（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．

Answer

（1）由函数的图象我们不难得到f （n）是一个分段函数，由函数f （n）图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上，我们可以利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数上的点代入函数的解析式，求出参数，进而得到f （n）的表达式，及前m天的销售总数；
（2）根据（1）中的解析式，我们求出第13天的销售量，结合（1）的结论，易得第14天时该款服装的总数超过400件，然后计算出日销售量低于30件时的天数，两者之间的差值，即为本款服装在市面上流行的天数．
【解析】
（I）根据题意，设f（n）=，（n∈N*）
而f（1）=2，∴5+a=2Þa=-3．
又5m+a=-3m+b，∴b=8m+a=8m-3，
∴f（n）=．（n∈N*）
由f（m）=57得m=12．
∴f（n）=（n∈N*）
前12天的销售总量为5（1+2+3++12）-3×12=354件．

（II）第13天的销售量为f（13）=-3×13+93=54件，
而354+54＞400件，
∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行．
设第x天的日销售量开始低于30件（12＜x≤30），
即f（x）=-3x+93＜30，
解得x＞21．
∴从第22天开始日销售量低于30件．
∵21-13=8，
∴该服装流行的时间不超过10天．