Question

设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．
（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|•|PF|=|PE|²，求P点的轨迹．
（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．

Answer

（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），由题意知|OP|=，|PD|=xsinθ-ycosθ，|PF|=xsinθ+ycosθ，由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0，由此可知，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．
（2）由题意知x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ，所以5y3cos2θ=x2sin2θ，y=，由此入手可以推出所求点P的坐标．
【解析】
（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），
则|OP|=
|PD|=|OP|sin（θ-α）=|OP|（sinθcosα-cosθsinα）=xsinθ-ycosθ
|PF|=|OP|sin（θ+α）=|OP|（sinθcosα+cosθsinα）=xsinθ+ycosθ
由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2sin2θ-y2cos2θ=（h-x）2（1）
即x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0
除以cos2θ≠0得
即
这是以为中心，以为半径的圆，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分，
注意：在A作直线AE′⊥OA，则OE′=，E′是圆的中心AE′=是圆的半径，A是圆上一点，而且圆在A的切线是OA．

（2）由条件|PD|+|PE|=|PF|得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ
即x+ycosθ=h （2）此直线通过（h，0）点及（0，）点，
由（1），（2）得x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ，
∴5y3cos2θ=x2sin2θ，
y=
由|PD|+|PE|=|PF|可知y＞0，所以这里右端取正号，
代入（2）得=h，
∴=，
=，
所求点P的坐标为（）．