Question

已知椭圆，过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．
（1）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），求当|AB|＜时，实数λ的取值范围．

Answer

（1）设A（x1，y1），因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，进而求得yl，又根据点A在椭圆C上，
代入即可求得x1，则点A的坐标可求．
（2）设直线AB的方程和点A，B，P的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而表示出AB的长度，求得k的范围，进而根据+=λ可知（x1，y1）十（x2，y2）=λ（x3，y3），进而分当λ≠0和λ=0时根据k的范围确定λ的取值范围．
【解析】
（1）设A（x1，y1），
因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，
所以yl=，
又因为点A（xl，yl）在椭圆C上，
所以x12+=1，即=1，解得x1=±，
则点A的坐标为（，）或（-，），
所以直线l的方程为6x-7y+21=0或6x+7y-21=0．
（2）设直线AB的方程为y=kx+3或x=0，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
当AB的方程为x=0时，|AB|=4＞，与题意不符．
当AB的方程为y=kx+3时：
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y得（4+k2）x2+6kx+5=0，
所以△=（6k）2-20（4+k2）＞0，即k2＞5，
则x1+x2=，x1•x2=，y1+y2=（kx1+3）+（kx2+3）=
因为|AB|=，
所以•，解得-＜k2＜8
所以5＜k2＜8．
因为+=λ，即（x1，y1）十（x2，y2）=λ（x3，y3），
所以当λ=0时，由+=0，得x1+x2==0，y1+y2==0，
上述方程无解，所以此时符合条件的直线l不存在；
当λ≠0时，x3==-，y3=
因为点P（x3，y3）在椭圆上，
所以[]2+[]2=1化简得λ2=，
因为5＜k2＜8，所以3＜λ2＜4，
则λ∈（-2，-）∪（，2）．
综上，实数λ的取值范围为（-2，-）∪（，2）．