Question

设函数f（x）=x²+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|2x²+4x-6|对任意的实数x均成立．定义数列{a_n}和{b_n}：a₁=3，2a_n=f（a_n-1）+3（n=2，3，…），b_n=，数列{b_n}的前n项和S_n．
（I）求a、b的值；
（II）求证：；
（III ）求证：

Answer

（ I）由|f（x）|≤|2x2+4x-6|=2|（x+3）（x-1）|知a=2，b=-3，由此可知f（x）=x2+2x-3（2分）
（II）由2an=f（an-1）+3=an-12+2an-1=an-1（an-1+2）（n≥2）知故=由此可知
（III）由2an=an-12+2an-1（n≥2）知（an-1+1）2=2an+1＜2（an+1）（n≥2），设an+1=cn，可求出1+log2cn＞2log2cn-1，设dn=log2cn，可求出dn-1＞22（dn-2-1）＞＞2n-1（d1-1）=2n-1（n≥2），由此可知
【解析】
（ I）由|f（x）|≤|2x2+4x-6|=2|（x+3）（x-1）|得f（-3）=0，f（1）=0，
故a=2，b=-3，∴f（x）=x2+2x-3
（II）由2an=f（an-1）+3=an-12+2an-1=an-1（an-1+2）（n≥2）得，
∴
∴=
∵2an=an-12+2an-1（n≥2），∴2an-2an-1=an-12≥0（n≥2），
∴an≥an-1（n≥2），从而an≥an-1≥≥a2≥a1=3＞0，即an+1＞0，∴
（III）由2an=an-12+2an-1（n≥2）得（an-1+1）2=2an+1＜2（an+1）（n≥2），
设an+1=cn，则c1=4，且2cn＞cn-12（n≥2），
于是1+log2cn＞2log2cn-1（n≥2），
设dn=log2cn，则d1=2，且1+dn＞2dn-1（n≥2），∴dn-1＞2（dn-1-1）（n≥2），
∴dn-1＞22（dn-2-1）＞＞2n-1（d1-1）=2n-1（n≥2），
从而n≥2时，
当n=1时，，∴