Question

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量，满足，设圆C的方程为x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0．
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值．

Answer

（1）根据两个向量模长之间的关系，两边平方，移项合并得到数量积为零，用坐标表示出来，根据点是圆上的点，得到线段垂直，从而数量积为零，把两个式子进行比较，整理得到结果．
（2）根据两个点是抛物线上的点，把点的坐标代入抛物线方程，整理变化得到圆心的轨迹方程，表示出圆心到直线的距离，根据二次函数的最值得到结果，本题考查运算能力．
【解析】
（1）∵向量，满足，
∴=
即=
整理得
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）
∴=（x1，y1），=（x2，y2）
∴x1x2+y1y2=0①
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，
则
即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
故线段AB是圆C的直径．
（Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），
则x=，y=
∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
∴x1x2=
又∵x1x2+y1y2=0
∴x1x2=-y1y2
∴-y1y2=
∴y1y2=-4p2
∴x==（y12+y22）
=（y12+y22+2y1y2）-
=（y2+2p2）
∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，，则
d=
=
=
当y=p时，d有最小值，
由题设得=
∴p=2