Question

如图，已知椭圆过点．，离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂．点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜线分别为k₁、k₂．①证明：；②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用椭圆过已知点和离心率，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）①把直线PF1、PF2的方程联立求得交点的坐标的表达式，代入直线x+y=2上，整理求得，原式得证．
②设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出xA+xB和xAxB，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由kOA+k）B+kOC+kOD=0推断出k1+k2=0或k1k2=1，分别讨论求得p．
【解析】
（1）∵椭圆过点，，
∴，
故所求椭圆方程为；
（2）①由于F1（-1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，
所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0．
又直线PF1、PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x-1），
联立方程解得，
所以，由于点P在直线x+y=2上，
所以，
故
②设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），联立直线PF1和椭圆的方程得，
化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12-2=0，
因此，
所以，
同理可得：，
故由kOA+k）B+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=1，
当k1+k2=0时，由（1）的结论可得k2=-2，解得P点的坐标为（0，2）
当k1k2=1时，由（1）的结论可得k2=3或k2=-1（舍去），
此时直线CD的方程为y=3（x-1）与x+y=2联立得x=\frac{5}{4}，，
所以，
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，P（0，2）．