Question

已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．

Answer

解此题的第一个突破点是第一（1）用导数的符号为正求单调区间，（2）求过切点的切线方程，找出两切点关系，再利用两点间的距离公式求解即可，（3）利用函数的单调性转化为恒成立问题．
【解析】
（1）当，解得x＞，或x＜-．
∴函数f（x）有单调递增区间为，
（2）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，
∵，∴切线PM的方程为：．
又∵切线PM过点P（1，0），∴有．
即x12+2tx1-t=0．（1）
同理，由切线PN也过点（1，0），得x22+2tx2-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的两根，
∴

把（*）式代入，得，
因此，函数g（t）的表达式为g（t）=（t＞0）
（3）易知g（t）在区间上为增函数，
∴g（2）≤g（ai）（i=1，2，，m+1）．
则m•g（2）≤g（a1）+g（a2）++g（am）．
∵g（a1）+g（a2）++g（am）＜g（am+1）对一切正整数n成立，
∴不等式m•g（2）＜g（n+）对一切的正整数n恒成立，
即m＜对一切的正整数n恒成立
∵，
∴．
∴
由于m为正整数，∴m≤6．又当m=6时，存在a1=a2═am=2，am+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．