Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面B₁C₁N；
（II）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值；
（III）设M为线段AB的中点，在线段BC上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

法一建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出向量=0，即可证明：BN⊥平面B1C1N；
（II）求出平面CNB1和平面NB1C1的法向量，利用公式求出其余弦值；
（III）设=（a，0，-1），利用⊥⇒•=0，求出a可使得MP∥平面CNB1
法二：几何法，（Ⅰ）由已知得B1C1⊥平面BNB1，可得B1C1⊥BN，再求证BN⊥B1N即可证明结论．
（II）过N作NQB1C1，∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角，然后求解即可．
（III）延长BA、B1N交于R，连接CR，利用比例关系，推出P的位置，使得MP∥平面CNB1
【解析】
解法一：（Ⅰ）证明
∵该几何体的正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形，
∴BA，BC，BB1两两垂直．
以BC，BB1，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）

则N（0，2，2），B1（0，4，0），C1（2，4，0），C（2，0，0）
∵=（0，2，2）•（0，2，-2）=4-4=0=（0，2，2）•（2，0，0）=0（3分）
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1与B1C1相交于B1，
∴BN⊥平面C1B1N；（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（0，2，2）是平面C1B1N的一个法向量，（5分）
设为平面NCB1的一个法向量，
则⇒⇒，取=（2，1，1），（7分）
∴，
即二面角C-NB1-C1的余弦值为．（9分）
（Ⅲ）∵M（0，0，1）．设P（a，0，0）为BC上一点，则=（a，0，-1），∵MP∥平面CNB1，
∴⊥⇒•=（a，0，-1）•（2，1，1）=2a-1=0⇒．（12分）
又MP⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当BP=时MP∥平面CNB1．（13分）
解法二：
（Ⅰ）证明：由已知得B1C1⊥平面BNB1，∴B1C1⊥BN，
BN=2=B1N，BB1=4，∴BB12=BN2+B1N2，∴BN⊥B1N
又B1C1与B1N交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；
（Ⅱ）过N作NQB1C1，则BC∥QN，又BN⊥平面C1B1N，
∴CQ⊥平面C1B1N，则CQ⊥B1N，QN⊥B1N，∴∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角θ，
在Rt△CNQ中，NQ=2，CQ=2，∴CN=2，cosθ==；

（Ⅲ）延长BA、B1N交于R，连接CR，∵MP∥平面CNB1，
MP⊂平面CBR，平面CBR∩平面CRN于CR，
∴MP∥CR，△RB1B中ANBB1，∴A为RB中点，
∴==，∴BP=，因此存在P点使MP∥平面CNB1．