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高中数学试题
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设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数,且满足f (x-2)=-f (x)对一...
设函数y=f (x)是定义域为R的奇函数,且满足f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立,当-1≤x≤1时,f (x)=x
3
,则下列四个命题:
①f(x)是以4为周期的周期函数.
②f(x)在[1,3]上的解析式为f (x)=(2-x)
3
.
③f(x)在
处的切线方程为3x+4y-5=0.
④f(x)的图象的对称轴中,有x=±1,其中正确的命题是( )
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
利用函数的奇偶性和f (x-2)=-f (x),可以得出函数的周期为4,然后结合-1≤x≤1时,f (x)=x3,得到函数在[1,3]上的解析式为f (x)=(2-x)3,利用导数的几何意义求得f (x)在处得切线的斜率,即可求得其切线方程.结合函数的奇偶性,周期性就可得到其图象的对称轴. 【解析】 ∵f (x-2)=-f (x)对一切x∈R恒成立, ∴f (x-4)=-f (x-2)=-[-f(x)]=f(x)∴f(x)是以4为周期的周期函数.①对 设1≤x≤3∴-1≤2-x≤1 又∵当-1≤x≤1时,f (x)=x3, ∴f(2-x)=(2-x)3=-f(x)∴f (x)=(2-x)3 ②对 ∴f'(x)=-3(2-x)2∴f'()=-=k 又∵=(2-)3=∴f (x)在处的切线方程为:y-=(x-)即:3x+4y-5=0.③对 由f (x-2)=-f (x)=f(-x)知函数图象的一条对称轴为x=-1,又∵f(x)为奇函数,其图象关于y轴对称 ∴f (x)的图象的对称轴中,有x=1,故④对. 故选D.
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考点分析:
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2
乙
B.S
2
甲
<S
2
乙
C.S
2
甲
=S
2
乙
D.无法确定
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试题属性
题型:选择题
难度:中等
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