Question

已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且满足2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n．
（Ⅰ）求a₁、b₁的值，并证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定实数λ的值，使数列是等差数列．

Answer

（Ⅰ）在2Sn=-2an+n2-n+2，2bn=n-2-an令n=1代入求得a1、b1的值，根据，求得数列{an}通项公式，代入2bn=n-2-an，根据等比数列的定义，证明数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，利用等差数列的定义求得实数λ的值，使数列是等差数列．
【解析】

（Ⅰ）证明：由已知，得2a1=-2a1+1-1+2
∴a1=
∴b1=-
由2Sn=-2an+n2-n+2，得2Sn+1=-2an+1+（n+1）2-（n+1）+2
两式作差得：2an+1=an+n．
∴．
∴数列{bn}是以-为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=-（）n-1，
∴Tn=
∵2bn=n-2-an
∴an=n-2-2bn=+n-2
∴
∵数列{}是等差数列的充要条件是=An+B（A、B为常数）
即Tn+λSn=An2+Bn
又-
∴当且仅当即时
数列{}是等差数列．